Cebir, Geometri, Trigonometri ve Kalkülüs

Matematiğin kapsamlı bir tarihi şimdiye kadar yazılmamış. Sadece şunu biliyoruz: Matematik bir kerede veya bir millet tarafından bulunmadı. Farklı kültürlerden insanların çabaları sonucu ortaya çıktı. İşin içinde Hindliler, Çinliler, Mısırlılar, Yunanlılar, Müslümanlar, Avrupalılar, Amerikalılar ve sayamayacağımız binlerce bilim insanı var.

Matematik çoğu zaman ihtiyaçtan doğdu. Ama ihtiyaçtan doğmadığı durumlar da var. Mesela komplex sayıların fiziksel problemleri ifade ettiği nerdeyse birkaç yüzyıl sonra anlaşıldı. 

Okullarda öğretilen matematik genelde fiziksel bir problemle eşleştirilmediği için öğrenci sıkılır, ne işe yarıyor ki sorusunu sorar ve cevabını bulamadığında dersi sevmez ve bırakır. Halbuki onu sevdirmek için binlerce sebebimiz var. Bugün bilim, teknoloji, müzik ve sanat varsa arka planda geliştirilmiş bir matematik var. 

17 yy. başında Alman matematikçi Johannes Kepler Danimarkalı Tycho Brahe tarafından yapılmış birçok astronomik gözlemi analiz etmişti. Burdan yola çıkarak gezegenlerin güneş çevresinde eliptik bir yörüngede dolandıklarına karar verdi. Sebebini bilmiyordu. 50 yıl sonra Isaac Newton bu soruyu cevapladı.

Hayattaki birçok problemi çözmek için matematiğe ihtiyaç duyarız. Matematik tarih boyunca ilerleme gösterdi. Mesela sıfır'ın bulunuşu 6. yy'da olmuştur. 10'lu sayı sistemi (decimal number system) sonradan geliştirilmiştir. Babiller 60'lı sayı sistemini kullanmışlardır. Bir dakika 60 saniye, bir saat 60 dakika ve dairenin çevresi 360 derece. Bunların kökeni Babillere dayanır. 

Bugün günlük hayatta 10'lu sayı sistemini kullanıyoruz ama bilim ve teknolojide ikili (binary number system), 8'li ve 16'lı sayı sistemleri de kullanılıyor. 

Pisagorcu felsefeciler, evren sayılar üzerine kurulmuştur, demişlerdir. Müzik ile matematik arasındaki ilişkiyi Pisagorcular farkettiler. 

Sayılar teorisi üzerine en çok katkıyı yapanlardan biri Carl Friedrich Gauss olmuştur. İyi bir matematikçidir ve dünyanın magnetik alanını ölçen deney yapmıştır. Bu yüzden magnetik endüksiyon birimi Gauss olarak bilinir.

Matematiğin sadece sayılar kısmıyla ilgilenen dalına aritmetik deniyor. Toplama, çıkarma, çarpma, bölme, üst alma gibi işlemleri tanımlıyor. Cebir ise aritmetik problemlerini sistemli hale getirmenin yolu olarak başlamış. 

Cebir, geometri ve trigonometri konularına kısaca Kalkülüs öncesi konular (pre-calculus) deniyor. Yerdeki ve gökteki cisimlerin hareketi, havanın ve suyun akışı, ısının, ışığın ve sesin iletimi gibi onlarca konu kalkülüs’ün konusudur.

Cebir ve geometri statik yani duran şeylerin hesabında kullanılan araçlardır. Sayıları topla, çıkar, böl, çarp, veya üssünü al, karekökünü bul, açı hesabı yap, bunların hepsi durağan şeyler. Denklemde kabul ettiğimiz x ve y sayıları değişken değil, aslında sabit sayılar. Ne zamanki bu sayılar zamana göre veya konuma göre değişiyor, işte o zaman kalkülüs'e ihtiyaç oluyor. 

Cebir Babiller döneminde kullanılıyordu. Ancak bugün kullandığımız sembollerin (x, y, z, t vs.) ortaya çıkması yüzyıllar sürdü. Eskiler ikinci derece denklemlerde ortaya çıkan pozitif kökleri anlamlandırırken negatif kökleri anlamıyorlardı. Şimdi biliyoruz ki hepsinin anlamı var. 

Problemleri çözmek için kullanılan metoda Cebir denmesi Muhammed İbn Musa Al Harezmi'nin yazdığı kitaptan sonra olmuştur. Bu kitapta denklem çözmenin genel yöntemlerini anlatmıştır. Harezmi 9. yy'da yaşamış bir İslam alimidir. Bağdatta yaşamıştır. Astronom ve matematik ile ilgilenmiştir. Cebir'in babası olarak bilinir. İngilizcedeki Algebra (elcıbra diye okunur) kelimesi burdan gelir. 

Geometrinin gelişimi de cebir gibi olmuştur. Bu konuda akla ilk olarak Yunan matematikçi Öklit (Euclid) gelir. Geometrinin babası diye bilinir. Elements başlıklı yazılmış kitapları vardır. (Euclid's Elements). Onun dışında Pisagor, Arşimet ve Thales en bilinen geometricilerdir. Siraküs'lü Arşimet bir dairenin çevresinin çapa oranını (yani Pi sayısını) döneminde en hassas bulan kişiydi. 96 gen kullanarak hesaplamıştı.

Kalkülüs (Calculus) ise Isaac Newton ve Gottfried Wilhelm Leibniz tarafından geliştirildi. Biri İngiliz, diğeri Alman bilim adamı ayrı ayrı, birbirlerinden bağımsız geliştirdiler. Newton hareket eden cisimleri ve hareketlerini çalışıyordu. Yer çekimini formüle eden de O oldu. 

Bir tepeden bir taş attınız, yere düşüyor. İşte onun hareketini açıklayabilmek için cebir ve geometri yetersiz kalır. Burda türev ve integral (differentitation and integration) işin içine girer. Bu iki işlem birbirinin tersidir. Taşın hareketini yani zamana göre konumunu yazarız ve hızını bulmak istiyorsak yazdığımız denklemin türevini alırız, hızını bulmuş oluruz. Taşın hızını biliyorsak integralini alarak taşın herhangi bir andaki yüksekliğini bulabiliriz. 

Çocuklar bazen soruyor. Hocam, 3’e 3 matrisi niye çözüyoruz ki? Niye tersini alıyoruz? Ne gerek var? Nedir bu işkence? Cevaplıyorum: 3’e 3 matris birşey mi? Ben doktora tezimde 6 milyona 6 milyon matrisi çözdüm. Bol sıfırlı (highly sparse) bir matris idi. Çünkü kiral denen malzemeden elektromagnetik dalganın hareketini hesaplayacağız. Dalga içerde dönerek gidiyor. Denklemlerim çok uzundu, birkaç sayfa tutuyordu. Denklemi yazarken 4.ncü sayfada eşittir koyuyordum, diğer 3 sayfa eşitliğin öbür tarafı. Bunu numerik metodla çözdüm. Amacım kiral bir antenin ya da malzemenin saçılmasını (scattering) hesaplamak. Hala kiral malzemeyi ticari olarak çözebilen yazılımlar benim bildiğim yok. Denklemleri yazınca (set of equations) bir matris çıkıyordu karşıma. Gerisi onun tersini alarak çözmek oluyor. 

Elektromagnetikte integral ve türevden kaçışınız yoktur. Bir çok bilim dalında da böyledir. 

Bugün birçok doğa olayını açıklamak ve tasarım yapmak için matematiği kullanıyoruz. Hala çözemediğimiz onlarca sorun var. İçimizden bir Gauss çıkarsa belki çözeriz.